《微积分》考试大纲

　　一、考试题型

　　1、填空题

　　2、选择题

　　3、计算题

　　4、综合题

　　二、考试参考用书

　　经济数学——《微积分》 ,吴传生编，高等教育出版社， 2006 年,第二版。

　　三、考试内容

　　第一章 函数

　　1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系;

　　2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

　　3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念;

　　4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　第二章 极限与连续

　　1、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念;

　　2、了解极限的性质;

　　3、了解极限的四则运算法则;

　　4、掌握极限存在的两个准则;

　　5、掌握利用两个重要极限求极限的方法;

　　6、理解无穷小量的概念和基本性质;

　　7、掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限;

　　8、 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系;

　　9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续);

　　10、 会判别函数间断点的类型;

　　11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性;

　　12、 理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

　　第三章 导数、微分、边际与弹性

　　1、 理解并掌握导数的概念，会用定义求点导数;

　　2、 掌握函数可导性与连续性之间的关系;

　　3、 了解导数的几何意义;

　　4、 会求平面曲线的切线方程和法线方程;

　　5、 掌握基本初等函数的导数公式;

　　6、 熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则;

　　7、 会求分段函数的导数;

　　8、 会求反函数与隐函数的一阶、二阶导数;

　　9、 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数;

　　10、了解微分的概念、 掌握导数与微分之间的关系

　　11、了解函数一阶微分形式的不变性， 熟练地求函数的微分。

　　第四章 中值定理及导数的应用

　　1、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解费马引理，泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用;

　　2、掌握洛必达法则的使用条件和使用方法，熟练地用洛必达法则求极限;

　　3、掌握函数单调性的判别方法;

　　4、了解函数极值的概念;

　　5、掌握函数取到极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值;

　　6、会求函数的最大值和最小值，并会解决实际问题的最值;

　　7、 掌握凹凸性的定义， 会用导数判断函数图形的凹凸性;

　　8、 会求函数图形的拐点和渐近线;

　　9、了解泰勒公式，会写出简单函数的泰勒公式。

　　第五章 不定积分

　　1、 理解原函数的概念;

　　2、 理解不定积分的概念;

　　3、 掌握不定积分和微分之间的关系;

　　4、 掌握不定积分的基本性质;

　　5、 掌握基本积分公式;

　　6、 掌握不定积分的换元积分法(凑微分和第二换元法);

　　7、 掌握不定积分的分部积分法;

　　8、 掌握简单的有理函数的积分。

　　第六章 定积分及其应用

　　1、 理解定积分的概念;

　　2、 掌握定积分的基本性质;

　　3、 了解定积分中值定理;

　　4、 理解积分上限的函数并会求它的导数;

　　5、 掌握牛顿-莱布尼茨公式;

　　6、 掌握定积分的换元积分法和分部积分法;

　　7、 了解反常积分的概念，会计算反常积分;

　　8、会利用定积分计算平面图形的面积;

　　9、会利用定积分计算旋转体的体积。

　　第七章 向量代数与空间解析几何

　　1、 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示;

　　2、 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平

　　行的条件;

　　3、 理解单位向量、方向数与方向余弦;

　　4、理解向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法;

　　5、 掌握平面方程和直线方程及其求法;

　　6、 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角;

　　7、 会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题;

　　8、 会求点到平面的距离;

　　9、 了解曲面方程和空间曲线方程的概念;

　　10、 了解常用二次曲面的方程及图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程;

　　11、 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

　　第八章 多元函数微分学

　　1、了解多元函数的概念及二元函数的几何意义，会求二元函数的定义域;

　　2、了解二元函数的极限与连续的概念， 会求简单的二元函数的极限，会说

　　明二元函数极限不存在，会判断二元函数的连续性;

　　3、 了解有界闭区域上二元连续函数的性质;

　　4、了解多元函数偏导数的定义，会用定义求某点处的偏导数;

　　5、了解全微分的定义，会求全微分;

　　6、了解全微分存在的必要条件和充分条件，掌握多元函数连续，偏导存在，可微之间的关系;

　　7、 会求多元复合函数一阶、二阶偏导数;

　　8、 会求多元隐函数的偏导数;

　　9、了解多元函数极值和条件极值的概念;

　　10、掌握多元函数极值存在的必要条件;

　　11、了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值;

　　12、 会用拉格朗日乘数法求条件极值;

　　13、 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题。

　　第九章 二重积分

　　1、理解二重积分的概念;

　　2、了解二重积分的几何意义;

　　3、 了解二重积分的性质;

　　4、了解二重积分的中值定理;

　　5、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标);

　　6、会用对称性简化二重积分的计算;

　　7、会用二重积分求平面图形的面积、空间立体的体积。

　　第十章 微分方程与差分方程

　　1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;

　　2、掌握变量可分离的微分方程;

　　3、掌握齐次微分方程的求解方法;

　　4、掌握一阶线性微分方程的求解方法;

　　5、会用简单的变量代换求解某些微分方程;

　　6、会用降阶法求解某些微分方程;

　　7、会解二阶常系数齐次线性微分方程;

　　8、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。

　　第十一章 无穷级数

　　1、了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念;

　　2、了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件;

　　3、掌握几何级数、 调和级数、 P-级数及它们的收敛与发散的条件;

　　4、掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法;

　　5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，绝对收敛与收敛的关系;

　　6、 了解交错级数的莱布尼茨判别法;

　　7、 会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域;

　　8、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数;

　　9、 掌握常用函数的麦克劳林( Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。